V1.2 Friis und Systemtemperatur
Niveau: Analysieren (K5)
Zeitbedarf: ca. 65 Minuten
Einstiegsfrage:
Ein Vorverstärker mit 0,5 dB Rauschzahl kostet deutlich mehr als einer mit 1,0 dB. Der Unterschied beträgt nur ein halbes Dezibel. Lohnt sich der teurere?
Alles rauscht
Jeder Körper, der wärmer ist als der absolute Nullpunkt, strahlt Wärme ab. Das beschreibt das Gesetz von Stefan-Boltzmann: P = σ · A · T⁴.
Ein Beispiel aus der USKA Academy: Ein menschlicher Körper mit 310 K und 1,7 m² Oberfläche strahlt rund 890 W ab. Wir erfrieren trotzdem nicht, weil wir gleichzeitig Wärme aus der Umgebung aufnehmen: bei 27 °C rund 780 W. Die Differenz von etwa 100 W entspricht ungefähr der Leistung eines Menschen.
Im Radiobereich beschreibt man Rauschen mit der Temperatur eines ohmschen Widerstands. Die Rauschleistung ist proportional zur absoluten Temperatur T und zur Bandbreite B: Pn = k · T · B. Dabei ist k die Boltzmann-Konstante, 1,38 · 10⁻²³ J/K.
Rauschen ist in erster Näherung frequenzunabhängig. Es zählt die Bandbreite, die dein Empfänger durchlässt.
Zwei Beispiele aus den Folien: 300 K und 2500 Hz ergeben 1,0 · 10⁻¹⁷ W, also rund −140 dBm. Ein FM-Empfänger mit 25 kHz Bandbreite und 500 K hat eine Rauschleistung von −127,6 dBm.
Hinweis: Auf einer Folie der USKA Academy 2017 steht k = 1,38 · 10⁻²⁰ J/K. Richtig ist 1,38 · 10⁻²³ J/K; das Ergebnis −140 dBm auf derselben Folie stimmt.
Rauschzahl und Rauschtemperatur
Jeder Verstärker hat einen Gewinn G und eine eigene Rauschtemperatur T. Am Ausgang erscheinen drei Anteile: das verstärkte Signal, das verstärkte Eingangsrauschen und das verstärkte Eigenrauschen. Das S/N wird darum immer schlechter – umso mehr, je stärker der Verstärker rauscht.
Hersteller geben meist die Rauschzahl NF in dB an. Daraus berechnest du den linearen Rauschfaktor F und die Rauschtemperatur T. Die Bezugstemperatur ist 290 K.
Rauschleistung
- P n: Rauschleistung in W; in dBm: 10 · log₁₀(P n / 1 mW)
- k = 1,38 · 10⁻²³ J/K (Boltzmann-Konstante)
- T: absolute Temperatur in K
- B: Bandbreite in Hz
Rauschfaktor und Rauschtemperatur
- NF: Rauschzahl in dB (bei einem Kabel: Verlust in dB)
- F: Rauschfaktor, linear, ohne Einheit
- T: Rauschtemperatur der Stufe in K
Formel von Friis (Kaskade)
- T e: Rauschtemperatur der ganzen Kette in K
- T 1, T 2, T 3: Rauschtemperaturen der Stufen in K
- G 1, G 2: Gewinne der vorangehenden Stufen, linear (10 G/10); bei Kabeln kleiner als 1
Systemtemperatur (Modell W3PM)
- T sys: Systemtemperatur in K (Simulator: «Eff Sys Temp Te»)
- T sky: Himmelsrauschtemperatur in K
- T ant: Antennenrauschtemperatur in K
- F: Rauschfaktor der ganzen Kette ab Antennenanschluss (Simulator: 290 K · (F − 1) = «RX Sys Temp TR»)
Rauschzahl (bzw. Verlust) und Rauschtemperatur
| Rauschzahl oder Verlust (dB) | Rauschtemperatur (K) | Beispiel |
|---|---|---|
| 0,1 | 6,8 | |
| 0,2 | 13,7 | Vorverstärker von HB9BBD (Folie: 14 K) |
| 0,3 | 20,7 | |
| 0,5 | 35,4 | Folie: «0,5 dB ↔ 35 K» |
| 0,7 | 50,7 | |
| 1,0 | 75,1 | |
| 1,5 | 119,6 | |
| 2,0 | 169,6 | |
| 3,0 | 288,6 | |
| 6,0 | 864,5 | |
| 10,0 | 2610 | |
| 12,0 | 4306 |
Berechnet mit T = 290 K · (10 NF/10 − 1). Für Kabel gilt die Tabelle bei einer Kabeltemperatur von 290 K.
Ein Kabel bei Raumtemperatur verhält sich gleich wie eine Verstärkerstufe mit Gewinn kleiner als 1: Seine Rauschzahl ist gleich seinem Verlust in dB. Jedes Dezibel Verlust vor dem Verstärker bedeutet zusätzliche Rauschtemperatur. 0,5 dB entsprechen 35 K.
Die Formel von Friis
Harald T. Friis hat beschrieben, wie sich das Rauschen eines mehrstufigen Verstärkers zusammensetzt: Te = T1 + T2 / G1 + T3 / (G1 · G2) + … Die Gewinne sind dabei lineare Faktoren.
Die Rauschtemperatur der ersten Stufe zählt voll. Die der zweiten Stufe wird durch den Gewinn der ersten geteilt, die der dritten durch den Gewinn der ersten beiden, und so weiter.
Daraus folgen zwei Regeln aus der USKA Academy:
- Regel 1: Der Vorverstärker gehört direkt an die Antenne.
- Regel 2: Direkt heisst: ohne Kabel.
Was möglich ist, zeigt ein Beispiel aus den Folien: Ein 23-cm-Vorverstärker für EME von HB9BBD erreicht 0,2 dB Rauschzahl, das sind 14 K, bei 40 dB Gewinn.
Systemtemperatur
Zur Rauschtemperatur der Empfangskette kommen die Rauschbeiträge der Antenne. So entsteht die Systemtemperatur: Tsys = Tsky + Tant + 290 K · (F − 1). F ist der Rauschfaktor der ganzen Kette ab Antennenanschluss, inklusive Kabel.
Im Simulator heisst Tsys «Eff Sys Temp Te». Die Rauschtemperatur der Kette allein, 290 K · (F − 1), heisst «RX Sys Temp TR». Die Rauschleistung «RX Noise Pwr Pn» ist k · Tsys · B.
Woher kommen Tsky und Tant?
Rauschen aus dem Weltraum: Das galaktische Hintergrundrauschen ist bei tiefen Frequenzen stark und nimmt mit steigender Frequenz schnell ab. Darunter liegt die kosmische Hintergrundstrahlung von knapp 3 K; die Quelle von 1977 nennt 2,76 K. Bei sehr hohen Frequenzen steigt das Rauschen wieder an (Quantengrenze). Dazwischen, grob von 1 bis 10 GHz, ist der Himmel am «kältesten».
Atmosphäre: Sauerstoff und Wasserdampf dämpfen und rauschen deshalb auch. Ihr Beitrag wächst deutlich oberhalb von etwa 10 GHz und bei tiefer Elevation, weil der Weg durch die Atmosphäre dann länger ist.
Zivilisationsrauschen: Elektrische Geräte erzeugen künstliches Rauschen. Es nimmt mit steigender Frequenz ab und ist in Geschäfts- und Wohngebieten deutlich höher als auf dem Land (Empfehlung ITU-R P.372).
Antennenrauschen: Was die Antenne über Neben- und Rückkeulen von der warmen Erde aufnimmt, steckt in Tant. Mehr dazu in V1.3.
Für deine Station heisst das: Auf 2 m ist schon der Himmel viel «wärmer» als auf 2,4 GHz. Im Excel-Beispiel (2,4 GHz) beträgt Tsky nur 8 K.
Rechenbeispiel
Die Tabelle rechnet die Kette des Excel-Beispiels Stufe für Stufe mit der Formel von Friis durch.
Friis Schritt für Schritt: die Kette von Folie 28
| Stufe | NF oder Verlust (dB) | Gewinn (dB) | T der Stufe (K) | Gewinn davor (linear) | Beitrag (K) |
|---|---|---|---|---|---|
| Kabel 1 | 0,5 | −0,5 | 35,4 | 1 | 35,4 |
| Verstärker 1 | 0,7 | 17 | 50,7 | 0,891 | 56,9 |
| Kabel 2 | 0,5 | −0,5 | 35,4 | 44,7 | 0,8 |
| Verstärker 2 | 2 | 20 | 169,6 | 39,8 | 4,3 |
| Kabel 3 | 6 | −6 | 864,5 | 3981 | 0,2 |
| Empfänger | 12 | – | 4306 | 999 | 4,3 |
| Kette T R | 1,31 | 101,9 | |||
| + T sky + T ant | 8 + 42 | 50,0 | |||
| T sys | 151,9 |
Beitrag = T der Stufe / Gewinn davor. NF der Kette = 10 · log₁₀(1 + 101,9 / 290) = 1,31 dB. Mit Python nachgerechnet.
Kabel 1 und Verstärker 1 bringen zusammen 92 von 102 K. Der Empfänger hat für sich allein 4306 K – in der Kette trägt er nur noch 4,3 K bei.
Beiträge zur Systemtemperatur im Excel-Beispiel von Folie 28. Die ersten beiden Blöcke der Kette dominieren.
Zurück zur Einstiegsfrage: Mit 0,5 dB statt 1,0 dB Rauschzahl sinkt die Rauschtemperatur der ersten Stufe von 75 K auf 35 K. Bei Tsky + Tant = 50 K und kleinen Beiträgen der Folgestufen sind das 85 K statt 125 K Systemtemperatur: 10 · log₁₀(125 / 85) = 1,7 dB besseres S/N. Ob sich das lohnt, hängt also davon ab, wie «kalt» dein Himmel ist.
Kontrollfrage: Du montierst den ersten Vorverstärker direkt an die Antenne, Kabel 1 (0,5 dB) fällt weg. Wie ändern sich T R, NF und T sys?
Lösung anzeigen
Ohne Kabel 1 ist der Vorverstärker die erste Stufe. Seine 50,7 K zählen jetzt voll, die Folgestufen werden durch 17 dB (50-fach) geteilt:
- T R = 50,7 + 0,7 + 3,8 + 0,2 + 3,8 ≈ 59,3 K (Summanden gerundet), also NF = 0,81 dB
- T sys = 8 + 42 + 59,3 = 109,3 K statt 151,9 K
- Das S/N wird um 10 · log₁₀(151,9 / 109,3) = 1,4 dB besser.
Das ist fast genau so viel, wie ein Vorverstärker mit 0,2 dB statt 0,7 dB bringen würde (T R 60,3 K). Regel 2 lohnt sich.
Merksatz:
Die erste Stufe bestimmt das Rauschen. Jedes Zehntel-dB vor dem ersten Verstärker zählt voll, alles hinter einem rauscharmen Verstärker mit hohem Gewinn zählt kaum.
Mini Selbsttest
Mini-Selbsttest V1.2
Querverweise und Quellen
Die Kette selbst lernst du in V1.1 Das Kaskadenmodell kennen. Wie du aus der Systemtemperatur eine Gütezahl für deine Anlage machst, zeigt V1.3 G/T.