E4.4 Rauschen und SNR

Niveau: K2 Anwenden ·

Zeitbedarf: ca. 50 Minuten

Einstiegsfrage:
In E4.3 kamen von 1 Watt aus 1000 km Entfernung noch −101,4 dBm an. Ist das viel oder wenig?

Signal-Rausch-Verhältnis

Ob ein Signal «stark» ist, hängt nicht vom Pegel allein ab. Entscheidend ist, wie weit es über dem Rauschen liegt. Dieses Mass heisst Signal-Rausch-Verhältnis (englisch signal-to-noise ratio, SNR).

In dB ist es einfach eine Differenz: SNR = P_rx − P_noise.

Thermisches Rauschen

In jedem Widerstand bewegen sich die Ladungsträger wegen der Wärme ungeordnet. Das erzeugt das Widerstandsrauschen. Es hat drei Eigenschaften:

Es ist in erster Näherung unabhängig von der Frequenz.
Die Rauschleistung ist proportional zur Empfangsbandbreite B.
Die Rauschleistung ist proportional zur absoluten Temperatur T.

Daraus folgt die wichtigste Rauschformel: P_noise = k · T · B. Dabei ist k = 1,38 · 10⁻²³ J/K die Boltzmann-Konstante, T in Kelvin und B in Hertz.

Rechenbeispiel FM-Empfänger

Ein FM-Empfänger hat B = 25 kHz und T = 500 K. Dann ist P_noise = 1,38 · 10⁻²³ · 500 · 25 000 W = 1,725 · 10⁻¹⁶ W. Das sind −127,6 dBm.

Mit dem Signal aus E4.3 ergibt sich: SNR = −101,4 dBm − (−127,6 dBm) = 26,2 dB. Das entspricht etwa S4, wenn man mit 6 dB pro S-Stufe rechnet.

Ein zweites Beispiel: Bei 300 K und 2500 Hz (typische SSB-Bandbreite) ist P_noise = 1,0 · 10⁻¹⁷ W, also rund −140 dBm.

Hinweis: In k · T · B wird linear gerechnet (W, K, Hz). Erst das Ergebnis wandelst du in dBm um. Ein Zehntel der Bandbreite bringt 10 dB weniger Rauschen.

Woher kommt das Rauschen?

Ein Teil des Rauschens entsteht im Empfangssystem selbst (Widerstandsrauschen). Ein anderer Teil kommt über die Antenne herein. Beim empfangenen Rauschen unterscheidet man natürliches und künstliches Rauschen.

Alles rauscht

Jeder warme Körper strahlt Energie ab. Für einen schwarzen Körper beschreibt das Stefan-Boltzmann-Gesetz die Leistung: P = σ · A · T⁴ mit σ = 5,67 · 10⁻⁸ W/(m² · K⁴).

Beispiel: Ein Mensch mit 310 K und 1,7 m² Oberfläche strahlt etwa 890 W ab. (Er nimmt gleichzeitig fast ebenso viel Strahlung aus der Umgebung auf.)

Im Radiobereich beschreibt man eine Rauschleistung deshalb gern durch eine Temperatur: die Temperatur eines ohmschen Widerstands, der gleich viel rauschen würde. Das ist die Rauschtemperatur.

Natürliches Rauschen: Weltraum und Atmosphäre

Aus der Milchstrasse kommt nicht-thermisches (galaktisches) Rauschen. Es ist bei tiefen Frequenzen stark und nimmt mit steigender Frequenz steil ab. Überall am Himmel liegt zudem der kosmische Hintergrund mit 2,76 K.

Oberhalb von etwa 10 GHz rauscht die Atmosphäre selbst, vor allem wegen Sauerstoff und Wasserdampf. Je flacher die Antenne zum Horizont schaut, desto mehr Atmosphäre «sieht» sie.

Zwischen etwa 1 und 20 GHz ist der Himmel besonders ruhig. Dieser Bereich heisst Radiofenster.

Eigene Prinzipskizze, nicht massstäblich, nach den Diagrammen in NASA SP-419 (1977). Blau: Summe aus galaktischem Rauschen, kosmischem Hintergrund und Atmosphäre. Die Atmosphäre rauscht stärker, je flacher die Antenne zum Horizont schaut.

Künstliches Rauschen

Elektrische Geräte, Leitungen und Schaltnetzteile erzeugen «Zivilisationsrauschen». Die Empfehlung ITU-R P.372 zeigt: Es ist in Geschäftsgebieten am stärksten, in Wohngebieten und ländlichen Gebieten schwächer, und es nimmt mit steigender Frequenz ab.

Für dich heisst das: Auf 145 MHz stört die Umgebung mehr als im GHz-Bereich.

Systemtemperatur und Vorverstärker

Jeder Verstärker hat eine Verstärkung G und eine eigene Rauschtemperatur T. Am Ausgang erscheint: P_out = P_in · G + P_noise,in · G + P_noise,amp · G.

Das Signal und das mitgelieferte Rauschen werden gleich verstärkt. Das Eigenrauschen des Verstärkers kommt dazu. Darum gilt: Das SNR wird durch einen Verstärker nie besser, sondern immer schlechter – und zwar umso mehr, je stärker er rauscht.

Die Rauschzahl (noise figure, NF) gibt dieses Eigenrauschen in dB an. Sie lässt sich in eine Rauschtemperatur umrechnen.

Die Friis-Formel

Harald T. Friis hat beschrieben, wie mehrere Stufen zusammen rauschen: T_eq = T₁ + T₂ / G₁ + T₃ / (G₁ · G₂) + …

Die Rauschtemperatur der ersten Stufe zählt voll. Die zweite Stufe zählt nur noch geteilt durch die Verstärkung der ersten Stufe, und so weiter. Darum ist die erste Stufe die wichtigste.

Daraus folgen zwei Regeln für den Vorverstärker (LNA, low noise amplifier):

Regel 1: Der Vorverstärker gehört direkt an die Antenne.
Regel 2: Direkt heisst: ohne Kabel dazwischen.

Rechenbeispiel mit angenommenen Werten, nach der Friis-Formel gerechnet. Ohne Vorverstärker (nur Kabel und Empfänger) wären es sogar rund 2600 K (NF 10 dB).

Jedes dB Verlust vor dem Verstärker bedeutet zusätzliche Rauschtemperatur: T = 290 K · (10^L/10 − 1). Schon 0,5 dB entsprechen 35 K.

Zusätzliche Rauschtemperatur durch Verlust vor dem Vorverstärker

Verlust bzw. Rauschzahl	zusätzliche Rauschtemperatur
0,1 dB	7 K
0,2 dB	14 K
0,5 dB	35 K
1 dB	75 K
2 dB	170 K
3 dB	289 K

T = 290 K · (10 ^L/10 − 1), mit Python nachgerechnet und gerundet. Dieselbe Formel rechnet eine Rauschzahl NF (in dB) in eine Rauschtemperatur um: Der LNA mit 0,2 dB Rauschzahl hat also nur rund 14 K.

Wie gut moderne Vorverstärker sind, zeigt ein Beispiel von HB9BBD für EME mit 0,2 dB Rauschzahl (nur 14 K) und 40 dB Verstärkung.

Die Antenne als Rauschquelle

Vor/Rück-Verhältnis

Ein Gedankenexperiment: Du montierst zwei Yagis Rücken an Rücken und koppelst sie zusammen. Der Gewinn in Boomrichtung ist gleich hoch wie bei einer einzelnen Yagi. Trotzdem wird das SNR des Satellitensignals schlechter.

Der Grund: Die rückwärtige Antenne sieht die warme Erde (300 K) und nicht den kalten Himmel. 300 K sind mehr als eine typische Systemtemperatur von 150 K. Das ergibt rund 3 dB mehr Rauschen – und 3 dB mehr Rauschen bedeuten 3 dB weniger SNR.

Eigene Prinzipskizze: Der Gewinn in Boomrichtung bleibt gleich hoch, aber die rückwärtige Antenne sieht die warme Erde statt des kalten Himmels. Das SNR des Satellitensignals wird schlechter.

Bei einer einzelnen Yagi gilt dasselbe im Kleinen: Was die Antenne nach hinten und zur Seite empfängt, bringt Erdrauschen. Ein gutes Vor/Rück-Verhältnis lohnt sich.

G/T: Gewinn zu Temperatur

Für das SNR zählt das Verhältnis aus Gewinn und Systemtemperatur, kurz G/T. In dB gilt: G/T = G − 10 · log₁₀(T_sys), in dB/K. Meistens ist das maximale G/T nicht dasselbe wie das maximale G.

Parabolspiegel: Spillover

Der Erreger (Feed) eines Spiegels soll die Spiegelfläche gut ausleuchten. Ein Teil seiner Strahlung geht aber am Spiegelrand vorbei. Dieser Spillover «sieht» die warme Erde. Die Antennentemperatur steigt, und damit das Rauschen.

Es braucht einen Kompromiss: Den besten Gewinn erreicht man, wenn der Spiegelrand mit etwa −10 dB ausgeleuchtet wird. Das beste G/T erreicht man mit etwa −13 bis −15 dB am Rand (abhängig vom Rauschen des LNA).

Das Kaskadenmodell

Das AO-40 Groundstation Evaluation Tool von Gene Marcus (W3PM) und der Simulator von AMSAT-HB rechnen die ganze Empfangskette nach diesen Regeln. Die effektive Systemtemperatur ist T_e = T_sky + T_ant + 290 K · (F − 1). Daraus folgt der Rauschpegel P_n = 10 · log₁₀(k · T_e · B) + 30 dBm.

Beispiel: Empfangskaskade im AO-40 Groundstation Evaluation Tool (2,4 GHz, 50 000 km)

Grösse	Wert
Eingabe: Frequenz / Distanz	2401 MHz / 50 000 km
Eingabe: Antennengewinn	24 dBi
Eingabe: Himmels- / Antennenrauschtemperatur	8 K / 42 K
Eingabe: Kaskade	Kabel 0,5 dB → Vorverstärker NF 0,7 dB, 17 dB → Kabel 0,5 dB → Vorverstärker/Konverter NF 2 dB, 20 dB → Kabel 6 dB → Empfänger NF 12 dB, B = 2500 Hz
Ergebnis: Rauschzahl der Kaskade	1,3 dB
Ergebnis: Rauschtemperatur der Kaskade T _R	101 K
Ergebnis: effektive Systemtemperatur T _e	151 K = 8 K + 42 K + 101 K
Ergebnis: Rauschleistung P _n	−142,8 dBm
Ergebnis: Streckendämpfung	194,0 dB
Ergebnis: Bake S/N	27,3 dB
Ergebnis: G/T	2,2 dB/K

Werte aus Michael Lipp (HB9WDF), «Stationskonzepte», USKA Academy 2017, Folie 28. Mit Python nachgerechnet: T _R = 101,9 K, T _e = 151,9 K (das Tool zeigt die Werte ohne Rundung abgeschnitten), P _n = −142,8 dBm, G/T = 24 − 10 · log₁₀(151) = 2,2 dB/K, Streckendämpfung 194,0 dB. Die Bake-S/N hängt von der Satellitenleistung ab, die auf der Folie nicht steht.

Simulator-Aufgabe

Im Simulator liest du den Rauschpegel ab und veränderst die Empfängerbandbreite. Richtwerte mit den Voreinstellungen: T_e ≈ 151 K und P_n ≈ −142,8 dBm bei 2500 Hz. Notiere ausserdem die S/N der CW-Bake.

Simulator-Aufgabe E4.4: Eingaben

Schritt	Feld	Wert
Zeitsteuerung	Zeitraffer	×60
1 · Orbit wählen	Preset	«LEO» (550 km, 53°)
2 · Position Bodenstation	Locator / Min. Elevation	JN47, «Position berechnen»; Min. Elevation 0°
3 · Satellit: Ausrichtung und Mode	alle Felder	Voreinstellung (Uplink 145.900 MHz, Downlink 435.500 MHz, Atmosphäre 0,5 dB)
4 · Spektrum, Alarm & AGC	alle Felder	Voreinstellung (Bake −6 dB relativ zur TX-Leistung)
Downlink-Kaskade	Sky N.Temp / Ant N.Temp	30 K / 42 K (Voreinstellung)
Downlink-Kaskade	Kabel, Vorverstärker, Receiver NF	Voreinstellung (0,2 dB · 0,7 dB/15 dB · 1 dB · 2,5 dB/30 dB · 6 dB · NF 12 dB)
Downlink-Kaskade	Receiver: Bandwidth (Hz)	Teil A: 2500
Zeitsteuerung	Tasten	«Pause», dann «Neustart», dann 6 × ▶ (Satellit ca. 5 min nach AOS, Zeit angehalten)
Teil B (Zeit bleibt angehalten)	Receiver: Bandwidth (Hz)	25000

Ablesen: unter der Downlink-Kaskade («Eff Sys Temp Te», «RX Noise Pwr Pn», «Beacon S/N») und im Transponder-Spektrum (dunkle Linie «Rauschpegel Pn», Zahl hinter «CW HB9RG»).

Simulator-Aufgabe E4.4: erwartete Ergebnisse

Ablesen	Teil A (2500 Hz)	Teil B (25 000 Hz)	Toleranz
Eff Sys Temp Te	151 K	151 K (unverändert)	±1 K
RX Noise Pwr Pn	−142,8 dBm	−132,8 dBm	±0,1 dB
Rauschpegel Pn im Spektrum	wie oben	wie oben	±0,2 dB
Beacon S/N (= Zahl bei «CW HB9RG»)	Wert notieren (typisch 20 bis 32 dB)	genau 10,0 dB kleiner als in Teil A	±0,1 dB
Bakenpegel = Pn + Beacon S/N	Wert in dBm berechnen	gleicher Wert wie in Teil A	±0,2 dB

Mit den Formeln des Simulators nachgerechnet: T _e = 30 K + 42 K + 290 K · (F − 1) = 151,4 K; P _n = 10 · log₁₀(k · T _e · B) + 30 dBm. Das Transponder-Rauschen hebt den Rauschpegel bei diesen Einstellungen um weniger als 0,1 dB an. Die Bake-S/N hängt von Distanz, Squint und Polarisation ab und ist darum je Überflug verschieden.

Kontrollfrage: Beim Wechsel von 2500 Hz auf 25 000 Hz steigt der Rauschpegel um 10 dB. Der Bakenpegel in dBm bleibt aber gleich. Warum? Und was folgt daraus für die Wahl der Empfängerbandbreite?

Lösung anzeigen

Die Rauschleistung ist P _n = k · T _e · B. Die zehnfache Bandbreite lässt zehnmal so viel Rauschleistung durch, also +10 dB. Die CW-Bake ist ein sehr schmales Signal. Ihre ganze Leistung passt in beide Bandbreiten, also bleibt ihr Pegel gleich. Das SNR sinkt darum um 10 dB.

Folge: Wähle die Bandbreite so schmal, wie es das Signal erlaubt – zum Beispiel ein schmales Filter für CW und etwa 2,5 kHz für SSB. Eine FM-Bandbreite von 25 kHz kostet gegenüber SSB 10 dB SNR.

Merksatz:
Rauschen ist k · T · B: Halbe Bandbreite heisst 3 dB weniger Rauschen. Der Vorverstärker gehört ohne Kabel direkt an die Antenne. Für das SNR zählt G/T, nicht der Gewinn allein.

Formelkasten

Formelkasten: Rauschen und SNR

Thermische Rauschleistung

P_{noise} = k \cdot T \cdot B k = 1,38 \cdot 10^{- 23} J/K

P _noise in W; T: absolute Temperatur in K; B: Bandbreite in Hz. Beispiel: 300 K und 2500 Hz ergeben 1,0 · 10⁻¹⁷ W ≈ −140 dBm.

Signal-Rausch-Verhältnis

SNR = P_{rx} - P_{noise} (in dB)

P _rx und P _noise in dBm, SNR in dB. Linear wäre es der Quotient der Leistungen.

Friis-Formel für Rauschtemperaturen

T_{eq} = T_{1} + \frac{T_{2}}{G_{1}} + \frac{T_{3}}{G_{1} \cdot G_{2}} + \dots

T₁, T₂, T₃: Rauschtemperaturen der Stufen in K; G₁, G₂: Verstärkung als Faktor (nicht in dB!). Ein Kabel hat G kleiner als 1.

Verlust oder Rauschzahl als Rauschtemperatur

T = 290 K \cdot (10^{L / 10} - 1)

L: Verlust bzw. Rauschzahl in dB. 0,5 dB entsprechen 35 K.

Güte der Empfangsanlage

\frac{G}{T} = G_{dBi} - 10 \cdot \log_{10} (\frac{T_{sys}}{1 K}) dB/K

G in dBi, T _sys in K. Für das SNR zählt G/T, nicht G allein.

Kaskadenmodell im Simulator

T_{e} = T_{sky} + T_{ant} + 290 K \cdot (F - 1) P_{n} = 10 \cdot \log_{10} (k \cdot T_{e} \cdot B) + 30 dBm

T _sky: Himmelsrauschtemperatur, T _ant: Antennenrauschtemperatur (je in K); F: Rauschfaktor der Kaskade (linear); B in Hz.