E2.1 Kreisbahn und Ellipsenbahn

Kapitel E2 · Kurs 1 

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Erklärung

Gravitation hält den Satelliten auf seiner Bahn

Ein Satellit bleibt nicht deshalb im Orbit, weil ihn ein Motor ständig antreibt. Er fällt dauernd zur Erde hin, verfehlt sie aber immer wieder, weil er gleichzeitig schnell genug seitlich unterwegs ist. Genau dieses Zusammenspiel aus Gravitation und Geschwindigkeit erzeugt eine Umlaufbahn

Die Kreisbahn

Bei einer Kreisbahn liefert die Gravitation genau die Zentripetalkraft, die nötig ist, um den Satelliten auf seiner Bahn zu halten. Daraus folgt die Grundbeziehung ω:

r3·ω2=G·M=μ

Der Wert μ heisst Standard-Gravitationsparameter der Erde. Er beträgt 398 600,4 km³/s². Die Masse des Satelliten spielt keine Rolle.

Die Winkelgeschwindigkeit hängt mit der Umlaufzeit T zusammen: ω = 2π / T. Die Mean Motion MM gibt an, wie viele Umläufe der Satellit pro Tag macht: MM = 86 400 s / T.

Weiter oben ist ein Satellit langsamer und braucht länger für einen Umlauf. Ein Satellit auf 550 km Höhe fliegt mit rund 7,6 km/s und braucht 95,6 Minuten. Auf 35 786 km sind es nur noch 3,07 km/s, aber knapp 24 Stunden.

Beispiel: die geostationäre Bahn

Bei einer geostationären Bahn (GEO) dauert ein Umlauf genau so lange wie eine Erddrehung. Die Erde dreht sich in 86 164 s einmal gegenüber den Sternen. Das ist ein Sterntag. Er ist rund 4 Minuten kürzer als der Sonnentag von 86 400 s.

Aus r³ · ω² = μ folgt ein Bahnradius von 42 164 km. Davon ziehst du den Erdradius von 6378 km ab. Die Höhe über der Erdoberfläche beträgt 35 786 km. Die Mean Motion ist 86 400 / 86 164 = 1,002739 Umläufe pro Tag.

Die Ellipsenbahn

Die meisten Bahnen sind keine Kreise, sondern Ellipsen. Die Erde steht dabei in einem der beiden Brennpunkte der Ellipse. Das ist das 1. Keplersche Gesetz.

Der erdnächste Punkt heisst Perigäum (allgemein Periapsis). Der erdfernste Punkt heisst Apogäum (allgemein Apoapsis). Die Abstände vom Erdmittelpunkt heissen r_p und r_a.

Die Exzentrizität e beschreibt, wie stark die Ellipse gestreckt ist. Bei e = 0 ist die Bahn ein Kreis. Bei 0 < e < 1 ist sie eine Ellipse. Ab e = 1 ist die Bahn offen: Der Körper kommt nicht zurück.

Im Perigäum schnell, im Apogäum langsam

Das dritte Keplersche Gesetz verbindet die Grösse einer Bahn mit ihrer Umlaufzeit: Je grösser die grosse Halbachse, desto länger dauert ein Umlauf. Der Drehimpuls bleibt erhalten. Im Perigäum und im Apogäum gilt deshalb r_p · v_p = r_a · v_a. Je weiter der Satellit weg ist, desto langsamer fliegt er.

Das 2. Keplersche Gesetz sagt dasselbe anders: In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen. Am Perigäum legt der Satellit in gleicher Zeit einen langen Bogen zurück, am Apogäum einen kurzen.

Ein Zahlenbeispiel mit einer Molnija-Bahn (500 km × 39 868 km Höhe): Im Perigäum fliegt der Satellit mit 10,04 km/s, im Apogäum mit nur 1,49 km/s. Das Verhältnis der Geschwindigkeiten ist 6,72. Genauso gross ist das Verhältnis der Radien.

Das 3. Keplersche Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen der grossen Halbachsen: (T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³. Der Radius der GEO-Bahn ist 6,09-mal grösser als jener einer 550-km-Bahn. Die Umlaufzeit ist deshalb 6,09^1,5 ≈ 15-mal länger: 95,6 m

Merksatz und Formeln